二项式展开练习与巩固
写出以下表达式的展开式：
a) \((1+x)^4\)
b) \((3+x)^4\)
c) \((4-x)^4\)
d) \((x+2)^6\)
e) \((1+2x)^4\)
f) \((1-\frac{1}{2}x)^4\)
使用二项式定理：\((a+b)^n = \sum_{r=0}^{n} \binom{n}{r} a^{n-r} b^r\)
注意识别 \(a\) 和 \(b\) 的值，以及 \(n\) 的值。
a) \((1+x)^4 = 1 + 4x + 6x^2 + 4x^3 + x^4\)
b) \((3+x)^4 = 81 + 108x + 54x^2 + 12x^3 + x^4\)
c) \((4-x)^4 = 256 - 256x + 96x^2 - 16x^3 + x^4\)
d) \((x+2)^6 = 64 + 192x + 240x^2 + 160x^3 + 60x^4 + 12x^5 + x^6\)
e) \((1+2x)^4 = 1 + 8x + 24x^2 + 32x^3 + 16x^4\)
f) \((1-\frac{1}{2}x)^4 = 1 - 2x + \frac{3}{2}x^2 - \frac{1}{2}x^3 + \frac{1}{16}x^4\)
使用二项式定理求以下展开式的前四项：
a) \((1+x)^{10}\)
b) \((1-2x)^5\)
c) \((1+3x)^6\)
d) \((2-x)^8\)
e) \((2-\frac{1}{2}x)^{10}\)
f) \((3-x)^7\)
使用通项公式：\(T_{r+1} = \binom{n}{r}a^{n-r}b^r\)
计算前四项对应的 \(r = 0, 1, 2, 3\)。
a) \((1+x)^{10} = 1 + 10x + 45x^2 + 120x^3 + \cdots\)
b) \((1-2x)^5 = 1 - 10x + 40x^2 - 80x^3 + \cdots\)
c) \((1+3x)^6 = 1 + 18x + 135x^2 + 540x^3 + \cdots\)
d) \((2-x)^8 = 256 - 1024x + 1792x^2 - 1792x^3 + \cdots\)
e) \((2-\frac{1}{2}x)^{10} = 1024 - 2560x + 2880x^2 - 1920x^3 + \cdots\)
f) \((3-x)^7 = 2187 - 5103x + 5103x^2 - 2835x^3 + \cdots\)
使用二项式定理求以下展开式的前四项：
a) \((2x+y)^6\)
b) \((2x+3y)^5\)
c) \((p-q)^8\)
d) \((3x-y)^6\)
e) \((x+2y)^8\)
f) \((2x-3y)^9\)
注意识别 \(a\) 和 \(b\) 的值，特别是当它们包含变量时。
计算时要仔细处理系数和指数。
a) \((2x+y)^6 = 64x^6 + 192x^5y + 240x^4y^2 + 160x^3y^3 + \cdots\)
b) \((2x+3y)^5 = 32x^5 + 240x^4y + 720x^3y^2 + 1080x^2y^3 + \cdots\)
c) \((p-q)^8 = p^8 - 8p^7q + 28p^6q^2 - 56p^5q^3 + \cdots\)
d) \((3x-y)^6 = 729x^6 - 1458x^5y + 1215x^4y^2 - 540x^3y^3 + \cdots\)
e) \((x+2y)^8 = x^8 + 16x^7y + 112x^6y^2 + 448x^5y^3 + \cdots\)
f) \((2x-3y)^9 = 512x^9 - 6912x^8y + 41472x^7y^2 - 145152x^6y^3 + \cdots\)
使用二项式展开求以下表达式的前四项，按 \(x\) 的升幂排列：
a) \((1+x)^8\)
b) \((1-2x)^6\)
c) \((1+\frac{x}{2})^{10}\)
d) \((1-3x)^5\)
e) \((2+x)^7\)
f) \((3-2x)^3\)
g) \((2-3x)^6\)
h) \((4+x)^4\)
i) \((2+5x)^7\)
按 \(x\) 的升幂排列意味着常数项在前，然后是 \(x\) 项，\(x^2\) 项，\(x^3\) 项。
答案应该是 \(a + bx + cx^2 + dx^3\) 的形式。
a) \((1+x)^8 = 1 + 8x + 28x^2 + 56x^3 + \cdots\)
b) \((1-2x)^6 = 1 - 12x + 60x^2 - 160x^3 + \cdots\)
c) \((1+\frac{x}{2})^{10} = 1 + 5x + \frac{45}{4}x^2 + \frac{15}{2}x^3 + \cdots\)
d) \((1-3x)^5 = 1 - 15x + 90x^2 - 270x^3 + \cdots\)
e) \((2+x)^7 = 128 + 448x + 672x^2 + 560x^3 + \cdots\)
f) \((3-2x)^3 = 27 - 54x + 36x^2 - 8x^3\)
g) \((2-3x)^6 = 64 - 576x + 2160x^2 - 4320x^3 + \cdots\)
h) \((4+x)^4 = 256 + 256x + 96x^2 + 16x^3 + \cdots\)
i) \((2+5x)^7 = 128 + 2240x + 16800x^2 + 70000x^3 + \cdots\)
求 \((2-x)^6\) 的二项式展开的前3项，按 \(x\) 的升幂排列，并简化每一项。
使用二项式定理，计算前3项对应的 \(r = 0, 1, 2\)。
注意简化每一项。
\((2-x)^6 = 2^6 + \binom{6}{1}2^5(-x) + \binom{6}{2}2^4(-x)^2 + \cdots\)
\(= 64 + 6 \times 32 \times (-x) + 15 \times 16 \times x^2 + \cdots\)
\(= 64 - 192x + 240x^2 + \cdots\)
因此前3项为：\(64 - 192x + 240x^2\)
求 \((3-2x)^5\) 的二项式展开的前3项，按 \(x\) 的升幂排列，给出每一项的最简形式。
使用二项式定理，计算前3项对应的 \(r = 0, 1, 2\)。
注意简化每一项。
\((3-2x)^5 = 3^5 + \binom{5}{1}3^4(-2x) + \binom{5}{2}3^3(-2x)^2 + \cdots\)
\(= 243 + 5 \times 81 \times (-2x) + 10 \times 27 \times 4x^2 + \cdots\)
\(= 243 - 810x + 1080x^2 + \cdots\)
因此前3项为：\(243 - 810x + 1080x^2\)
求 \((x+\frac{1}{x})^5\) 的二项式展开，给出每一项的最简形式。
使用二项式定理，注意 \(a = x\)，\(b = \frac{1}{x}\)。
计算时要仔细处理指数。
\((x+\frac{1}{x})^5 = x^5 + \binom{5}{1}x^4(\frac{1}{x}) + \binom{5}{2}x^3(\frac{1}{x})^2 + \binom{5}{3}x^2(\frac{1}{x})^3 + \binom{5}{4}x(\frac{1}{x})^4 + (\frac{1}{x})^5\)
\(= x^5 + 5x^3 + 10x + \frac{10}{x} + \frac{5}{x^3} + \frac{1}{x^5}\)
因此展开式为：\(x^5 + 5x^3 + 10x + \frac{10}{x} + \frac{5}{x^3} + \frac{1}{x^5}\)
在 \((1+3x)^8\) 的展开中，求 \(x^4\) 的系数。
使用通项公式：\(T_{r+1} = \binom{n}{r}a^{n-r}b^r\)
确定 \(r\) 的值，使得 \(b^r\) 的指数为4。
\(x^4\) 项 = \(\binom{8}{4}1^4(3x)^4 = \binom{8}{4} \times 81x^4\)
\(\binom{8}{4} = \frac{8!}{4!4!} = \frac{40320}{24 \times 24} = \frac{40320}{576} = 70\)
因此 \(x^4\) 的系数 = \(70 \times 81 = 5670\)
在 \((2+3x)^{10}\) 的展开中，求 \(x^4\) 的系数。
使用通项公式，注意 \(a = 2\)，\(b = 3x\)。
计算时要仔细处理系数。
\(x^4\) 项 = \(\binom{10}{4}2^6(3x)^4 = \binom{10}{4} \times 64 \times 81x^4\)
\(\binom{10}{4} = \frac{10!}{4!6!} = \frac{3628800}{24 \times 720} = \frac{3628800}{17280} = 210\)
因此 \(x^4\) 的系数 = \(210 \times 64 \times 81 = 1088640\)
设 \(f(x) = (1+kx)^{10}\)，其中 \(k\) 是常数。已知 \(f(x)\) 的二项式展开中 \(x^3\) 的系数是15，求 \(k\) 的值。
使用通项公式，确定 \(x^3\) 项对应的 \(r\) 值。
建立关于 \(k\) 的方程并求解。
\(x^3\) 项 = \(\binom{10}{3}1^7(kx)^3 = \binom{10}{3}k^3x^3 = 15x^3\)
\(\binom{10}{3} = \frac{10!}{3!7!} = \frac{3628800}{6 \times 5040} = \frac{3628800}{30240} = 120\)
因此 \(120k^3 = 15\)
\(k^3 = \frac{15}{120} = \frac{1}{8}\)
\(k = \sqrt[3]{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2}\)
a) 证明 \((a+b)^4 - (a-b)^4 = 8ab(a^2+b^2)\)
b) 已知 \(82896 = 17^4 - 5^4\)，将82896写成其质因数的乘积。
a) 分别展开 \((a+b)^4\) 和 \((a-b)^4\)，然后相减。
b) 使用a)的结果，将82896分解。
a) 证明：
\((a+b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4\)
\((a-b)^4 = a^4 - 4a^3b + 6a^2b^2 - 4ab^3 + b^4\)
\((a+b)^4 - (a-b)^4 = 8a^3b + 8ab^3 = 8ab(a^2 + b^2)\)
b) \(82896 = 17^4 - 5^4 = (17^2)^2 - (5^2)^2 = 289^2 - 25^2\)
\(= (289-25)(289+25) = 264 \times 314\)
\(= 8 \times 33 \times 2 \times 157 = 2^4 \times 3 \times 11 \times 157\)